e hoch i pi

Es wird Zeit mal was für die Bildung hier auf Blogschrott zu tun. Anbei ein Foto von der mathema Ausstellung des Deutschen Technikmuseums in Berlin, welches die wohl faszinierendste mathematische Formel überhaupt darstellt. e hoch (i * pi)

e hoch i pi

Schon irre, die Zahl 0 als neutrales Element der Addition , die 1 als neutrales Element der Multiplikation, die Eulersche Zahl e, die imaginäre Einheit i (Wurzel aus -1) und die faszinierende irrationale transzendente Kreiszahl Pi verwoben in einer einzigen knappen und eleganten Formel. Ich hoffe ihr erstarrt alle vor Ehrfurcht 😉

Beweisen kann man die Gleichung mit Hilfe der Eulerschen Identität. Setzt man hier pi in die Formel ein, so bleibt am Ende nur der Realteil cos(pi) und damit -1 übrig. Einfach schön dieses ei*pi = -1.

Über Gerald

Kommentare

  1. Klar, ich erstarre und verstehe selbstverständlich kein Wort 🙂

    Aber das ist für Freunde von PI – zu denen du ja bekanntermaßen zu zählen bist – mit Sicherheit ein Highlight.

  2. Dafür war ich wohl ein paar Jahre zu wenig in der Schule:D muss ich nachholen.

  3. Ich verstehe es zwar, aber Faszination empfinde ich da eher nicht 😉 Ich bin halt kein großer Mathefan….

    Für mich sind das alles MATHEMAGIEN 😉

  4. ok verstanden hab ichs, glauben konnte ich es nicht. also habe ich es in den taschenrechner eingegeben und Math Error bekommen 😀
    aber laut Google stimmt es also glaub ich es mal (man glaubt google ja immer alles 😉 )

  5. Sieht schick aus das Teil, hab mich da mal lange mit rum geschlagen. So 10 verstanden hab ichs nie. Bestimmte Dinge musste ich einfach als Axiome hinnehmen.

  6. Michael meint:

    So ein Teil hätte ich auch gerne, jemand ne Idee wie man sowas bauen könnte?

    Gruß

  7. Was faselst du eigentlich da? ^^

  8. naja, ich versteh die wörter und finde das übelst interessant, aber WARUM es so ist weiß ich nicht 😉

  9. Ich als Physiker finde an der Rechnung nichts spannend, muss aber sagen, dass ich das Bild beeindruckend finde, also wie die Zahlen gestaltet sind.
    Aber zum Nachvollziehen der Rechnung mal für leihen verständlich erklärt:

    Da die reellen Zahlen ab einem bestimmten Niveau der höheren Mathematik nicht mehr reichen, hat man die komplexen Zahlen eingeführt.
    Die reellen Zahlen befinden sich alle auf der x-Achse, sie können einfache positive und negative Werte annehmen, also von -unendlich bis +unendlich, mit unendlich kleinen genauen Abstufungen zwischen jeder Zahl. Soweit sollte es für jeden klar sein.
    π ist eine dieser Zahlen über die man seitenlang schreiben kann, hier soll als Näherung die Kreiszahlberechnung nach Leibniz genügen: 1/1 – 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 -+… versucht es mal mit den ersten 10-20 Elementen und wenn ihr genug nehmt kommt ihr auf: 3,141592653589793… aber die Zahl dürfte euch bekannt sein.
    e (die eulersche Zahl), auch eine reelle Zahl (und meine Lieblingszahl) sie wurde dieses Jahr erst von Shigeru Kondo auf 1Billionen Stellen hinter dem Komma genau berechnet.
    Übriegens war es auch Shigeru Kondo, der ebenfalls dieses Jahr zusammen mit Alexander Yee die Zahl π auf 5Billionen Stellen hinter dem Komma berechnet hat. Für uns soll hier aber: 2,71828182845904523536… genügen. Um hier eine ähnlich einfache Näherung zu geben wie bei π müsste ich erst die Fakultät erklären und das muss jetzt nicht sein. Ach was solls nur der Vollständigkeit halber: ! bedeutet Fakultät einer (positiven, ganzen) Zahl.
    Diese Zahl wird mit allen vor ihr kommenden Zahlen multipliziert, z.B.: 4! = 1 * 2 *3 * 4 = 24.
    Definitionsgemäß ist 0! = 1.
    So e kann als Summer über alle Kerwerte aller Fakultäten beschrieben werden, sprich: 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …

    So nun zu den komplexen Zahlen, diese können nicht mehr nur auf der x-Achse abgebildet werden, sonden brauchen auch die y-Achse, diese Darstellung nennt man die Gaußsche Zahlenebene, benannt nach dem schlauen Kopf, der auf dem 10DM Schein war.

    Die imaginäre Zahl i ist die Wurzel von -1.
    Die Wurzel von -1 hat 2 Lösungen: i & -i, weil i * i = -1 und -1 * -1 = 1 sind.

    Jede komplexe Zahl z, da die reellen nur eine vereinfachung der komplexen sind gehören diese dazu, lässt sich durch einen Real- und einen Imaginärteil ausdrücken:
    z = a + bi z.B. 5 = 5 + 0i also 5

    wobei der Realteil die x-Koordinate und der Imaginärteil die y-Koordinate darstellen.

    soweit klar?

    ok dann wird es etwas komplizierter:
    man kann sie in der so genannten Polarform ausdrücken:

    z = r * e ^ iφ
    r ist ein Vektor in der Gaußschen Ebene, wobei φ den Winkel zwischen r und der x-Achse angibt.
    r hat die Länge des Betrags von z, also: r = |z|
    (kurzer Einschub: Betrag eines Vektors: sqrt(x² + y²) wobei x der Realteil und y der Imaginärteil ist.)

    So hier erkennt man schon, dass e ^ iφ den Wert 1 haben muss!
    Weil: z und r, ja betragsgleich sind, darf sich der Betrag von r nicht verändern, wenn es mit e ^ iφ multipliziert wird, und dies geschiet nur bei: |e ^ iφ| = 1

    so in unserem Falle ist φ = π.
    also muss der Betrag dieses Summanden schonmal 1 sein.
    Aber warum -1 und nicht 1 oder irgendwas dazwischen auf der Gaußschen Ebene???

    nun um es gaaaanz einfach zu machen, man kann e ^ iφ auch als cos φ + i sin φ schreiben.
    denke wir nun an die Sinuskurve, diese ist bei 0 = 0 und bei π = 0 und bei allen ganzen vielfachen von π auch.
    DIe Cosinusfunktion wiederrum nicht, diese ist dort 1 oder -1. 1 bei graden Vielfachen von π und -1 bei ungeraden Vielfachen von π (einfach mal bei google Bilder ansehen)

    also cos π + i sin π = -1 + i*0 = -1

    daraus folgt:

    1 + e ^ iπ = 1 + cos π + i sin π = 1 + (-1) + 0
    = 1 – 1 = 0
    /qed

    hoffe das war halbwegs verständlich und nachvollziehbar!

  10. Ja, die Formel ist sehr interessant, weil sich 3 interessante Zahlen (e, pi und i) in einer Formel befinden. Danke für Erklärung Mike. Ich wusste auch nicht, warum es so ist und suchte in der türkischen Website, woher die Formel kommt. Hier habe ich es gefunden :))

  11. Zaphod Beeblebrox meint:

    Also erstmal danke an Mike für die Erklärung der Formel.
    An den OP: du hast Punkte unterschlagen, die diese Formel im esoterischen Sinn perfekt machen:
    1. sie enthält alle elementaren Zahlen der Mathematik (0, 1, e, i, pi)
    2. sie enthält alle elementaren Rechenarten der Mathematik (Addition, Multiplikation, Potenzieren)

    Dazu sinngemässes Zitat: Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist. Und der Teufel existiert, weil wir es nicht beweisen können.

  12. Schön geschrieben, aber kleine Fehler: z.B. die wurzel aus -1 ist nie 1! usw. …

  13. hii19 meint:

    √(e^pi*i) = i ;))

  14. Meike meint:

    Soweit ist ja alles schön und gut, schöne wiederholung… das hab ich alles schon wieder verdrängt ^^
    aber eine Frage bleibt: warum kriegt das der Taschenrechner nicht hin? cos(pi) + isin(pi) kann er ausrechnen, aber bei e^ipi gibt er nur ne math. fehlermeldung raus…

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